|
محاسبه‌ی چندجمله‌ای‌های لاگرانژ به روش بازگشتی با استفاده از نقاط گرهی چبیشف
|
احسان نکوزاده چهارمحالی*   |
|
|
|
چکیده: (1629 مشاهده) |
در مباحث مربوط به تئوری تقریب، برای تقریب زدن یک تابع پیچیده با استفاده از یک چندجمله‌ای، از درون‌یابی استفاده‌می‌شود. برای به‌دست‌آوردن ضابطه‌ی چندجمله‌ای مورد نظر از روش‌های مختلفی می‌توان استفاده‌کرد. یکی از روش‌های مرسوم در محاسبه‌ی چندجمله‌های درون‌یاب، روش درون‌یابی لاگرانژ است. به علاوه در این نوع مسائل نحوه‌ی توزیع نقاط گرهی یکی از عوامل تأثیرگذار بر دقت درون‌یابی است؛ به عنوان مثال اگر برای تقریب‌زدن یک تابع با استفاده از چندجمله‌ای‌ها، از نقاط گرهی هم‌فاصله استفاده‌شود، دقت درون‌یابی در ابتدا و انتهای بازه‌ی نمونه‌برداری مطلوب‌نخواهدبود. برای غلبه بر این مشکل باید نحوه‌ی توزیع نقاط گرهی به گونه‌ای باشد که در ابتدا و انتهای بازه‌ی درون‌یابی نسبت به مرکز بازه از تراکم بیشتری برخوردار باشند. یک نمونه از مجموعه نقاطی با این شرایط، مجموعه‌ی ریشه‌های چندجمله‌ای‌های چبیشف هستند که به نقاط گرهی چبیشف معروف‌اند. با استفاده از این نقاط به عنوان نقاط گرهی، دامنه‌ی نوسان‌های چندجمله‌ای در دو طرف بازه‌ی درون‌یابی بسیار کوچک خواهدبود که این مسأله موجب افزایش دقت درون‌یابی می‌شود. با توجه به کاربردهای ذکرشده برای استفاده از نقاط چبیشف در این نوع مسائل درون‌یابی، در این مقاله یک رابطه‌ی بازگشتی برای محاسبه‌ی توابع پایه‌ی لاگرانژ با استفاده از این نقاط ارائه‌می‌شود. با استفاده از این روش تعداد عملگرهای محاسباتی مورد نیاز جهت به‌دست‌آوردن توابع پایه‌ی لاگرانژ، تا حد قابل‌توجهی کاهش‌می‌یابد. از این رو انتظار می‌رود که با به‌کارگیری این روش ، سرعت انجام محاسبات در فرآیند درون‌یابی افزایش‌یابد. برای بررسی این مسأله در ادامه‌ی مقاله، توابع پایه‌ی لاگرانژ در یک مسأله‌ی درون‌یابی با استفاده از هر دو روش محاسبه‌شدند. پس از محاسبه‌ی این توابع برای تمام اعداد صحیح در بازه‌ی ]1000,1[ و برای چندجمله‌ای‌های از درجه‌ی 1 تا 10، مشخص‌شد که استفاده از روش بازگشتی در محاسبات، تا چند برابر سریع‌تر از روش معمولی است؛ به گونه‌ای که برای چندجمله‌ای درجه‌ی 1 روش بازگشتی 3/1 برابر سریع‌تر از روش معمولی بوده‌است. با افزایش درجه‌ی چندجمله‌ای این اختلاف افزایش‌یافته و برای چندجمله‌ای درجه‌ی 10 روش بازگشتی تا 3 برابر سریع‌تر از الگوریتم معمولی عمل‌کرده‌است؛ بنابراین استفاده از روش ارائه‌شده به خصوص در مواردی که از چندجمله‌ای‌های با درجات بالا برای درون‌یابی استفاده‌می‌شود، کاملاً توجیه‌پذیر است. |
|
| واژه‌های کلیدی: تئوری تقریب، درون‌یابی لاگرانژ، محاسبه‌ی بازگشتی توابع پایه‌ی لاگرانژ، نقاط گرهی چبیشف، نقاط گرهی هم‌فاصله |
|
|
متن کامل [PDF 972 kb]
(753 دریافت)
|
نوع مطالعه: پژوهشي |
موضوع مقاله:
ژئودزی و هیدروگرافی
دریافت: 1399/4/16
|
|
|
|
|
|
|
| ارسال پیام به نویسنده مسئول |
|
|
|
| ارسال نظر درباره این مقاله |
|
|
|
